Rechten bij veranderen van verzekeraar

Ik heb mijn huis verzekerd bij een bepaalde maatschappij. Bij de verzekering is een rechtsbijstandverzekering inbegrepen. Om een aantal redenen heb ik besloten om van verzekeraar te veranderen. Ik heb daartoe al stappen ondernomen, maar ik heb mijn oude verzekering (die op 31 december eindigt) nog niet opgezegd (moet vóór 1 november). Uitgerekend nu komt mijn buurman met plannen waar ik het totaal niet mee eens ben. Ik probeer nog steeds om alles in een goede sfeer te laten verlopen, maar de kans zit er dik in, dat ik nog voor aanvang van de nieuwe woningverzekering een beroep zal moeten doen op de bestaande rechtsbijstandverzekering.

Vragen:
1. wat zijn mijn rechten, als ik tijdens een lopende zaak van rechtsbijstandverzekeraar verander? Moet de oude verzekeraar dan de zaak tot het einde blijven behandelen? Of eindigt de bemoeiienis van de oude verzekeraar per 31 december?
2. In dat laatste geval is het dan waarschijnlijk het beste om toch maar niet van verzekeraar te wisselen, want de nieuwe bouwt natuurlijk een wachttijd in. Of nemen ze een al lopende zaak wel van elkaar over?

Ik zit kortom een beetje in de tang, want ik wil echt van verzekeraar veranderen. Weet iemand de oplossing?