Dubbele kosten bij overstappen internet (NLE), wie betaald dit?

Ik ben vorige jaar over gestapt van KPN naar NLE voor mijn internet en tv. Hierbij heb ik de overstapservice van NLE gebruikt. Helaas heeft KPN toch een maand extra gerekend na het overstappen. Na bellen met KPN bleek dat er niet tijdig is opgezegd door NLE, waardoor er een maand extra afgerekend wordt. Na lang proberen (meer dan een half jaar) heb ik antwoord gekregen van NLE. NLE geeft aan dat ze tijdig via een centraal register hebben laten weten dat het contract gestopt had moeten worden, maar dat KPN hier niet naar kijkt. Ze geven aan dat dit heel vaak fout gaat. Omdat dit vaak fout gaat mogen ze uit 'coulance' 1 maand bedrag verrekenen. Echter was mijn maandbedrag bij KPN aanzienlijk hoger dan deze verrekende maand van NLE. NLE overstapservice geeft aan dat ze niet verantwoordelijk zijn voor dit verschil en weigeren dit terug te betalen. Nu is mijn vraag; is de overstapservice hier echt niet verantwoordelijk voor? En als ze er toch verantwoordelijk voor zijn, wat is dan de beste manier om NLE te overtuigen?